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数论1

贝洛教育 数论联系及讲解

贝洛教育

知识备忘:

1、约数的性质

1)、A×B=(A,B)×[A,B]

2)、若自然N分解质因数的结果是:

N pab py

1 p2 n

则(1)N的约数个数为:(a+1)×(b+1)× ×(n+1) (1 p2b

N的所有约数的和为:

1 p21 pa1) (1 p2 p2 p2)

(1 p2

yn pn pn

)

3)、约数个数为奇数的数是完全平方数。 2.数的整除性质

性质1:如果a、b都能被c整除,那么它们的和与差也能被c整除。 即:如果c|a,c|b,那么c|(a b) 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a,即:如果bc|a,那么b|a,c|a.

性质3:如果b、c都能整除a,且b和c互质,那么b与c的积能整除a.

即:如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a.

性质4:如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a. 即:如果c|b,b|a,那么c|a. 3.数的整除特征

1)能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数。“特征”包含两个方面的意义:一方面,个位数字是偶数(包括0)的整数,必能被3整除;另一方面,能被2整除的数,个位数字只能是偶数(包括0)。下面“特征”含义相似。

2)能被3(或9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被3(或9)整除。

3)能被4(或25)整除的数的特征:末两位数能被4(或25)整除。 4)能被5整除的数的特征:个位是0或5.

5)能被7(11,13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被7(11,13)整除。

6)能被8(或125)整除的数的特征:末三位数能(或125)整除。

7)能被11整除的数的特征:这个数的奇数位上的数字之各与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。 4.余数的性质: 1)、余数小于除数

2)、若a,b除以c的余数相同,那么ca b或cb a

3)、a和b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数

4)、a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

例题:

例1、一个七位数的各位数字互不相同,并且它能被11整除,这样的数中,最大的是哪一个? 解:为了使这个数最大,先让前五位是98765,设这个七位数是98765ab,要使它被11整除,要满足

(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)

能被11整除,也就是7+b-a要能被11整除,但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数,只有b=4,a=0,满足条件的最大七位数是9876504

习题:

质数、合数、质因数:

1、从小到大写出五个质数,要求后面的质数都比它前面一个质数大12。

2、九个连续自然数中最多有几个质数?为什么?

3、李明是个中学生,参加了全区的数学竞赛。他说:“我的名次、分数

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