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线段转移法

“线段转移法”几何证明中的“桥梁”

龙正兵

(贵州省三都水族自治县鹏城希望学校,558100)

在几何问题的证明过程中,我们常常会遇到要证明两条线段相等的情形。然而很多时候,要证明的这两条线段相等的迹象并不是十分明显,甚至看上去连一点关联都没有。遇到这种问题,我们就要想到是否可以先证明它们都与另外一条线段相等,把这条线段作为连接它们相等关系的“桥梁”。这其实就是把这两条线段进行了位置或关系的“转移”的一种解题技巧。例如: 例1、已知:如图,AD是△ABC

的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF. 求证:AC=BF. 分析:欲证AC=BF, A 如果按照我们常 规的思路,只

线段转移法

须证明AC、 D

C BF所在 的两个三角形全等即

图1 可.然而我们由图上可以看出,图中显然没有含有AC、BF的两个全等三角形,即AC、BF看不出有任何

联系。但如果我们利用作辅助线的方法,把BF进行一下“转移”,即作CH∥BF,且与AD的延长线交于点H,这时就有△BDF≌△CDH,于是可得BF=CH,这时我们便很容易发现AC与CH都是△ACH的两条边,我们只需证明△ACH是等腰三角形,即证明AC=CH,这样,我们便把明明没有任何关联的两条线段BF与AC通过“转移”变成互相有关联的两条线段了,即是把BF“转移”成为CH,再通过CH这一“桥梁”,从而达到我们证明的目的.具体证法如下: 证明:过点C作CH∥BF交AD的延长线于点H. ∵CH∥BF ∴∠DCH=∠DBF ∵D为BC边的中点 ∴BD=CD ∴△BDF≌△CDH ∴BF=CH 又∵CH∥EF ∴∠H=∠AFE ∵AE=EF ∴∠AFE=∠EAF ∴∠H=∠EAF

∴AC=CH

∴AC=BF.

例2、已知:如图2,在△ABC

中,∠BAC=90°,BM平分∠ABC交AC于点M,以点A为圆心,AM为半径作⊙A交BM于点N,AN的延长线

交BC于点D,直线AB交⊙A于P、K两点,作MT⊥BC,垂足为T,且AK=BD.

求证:BNBP ACBM

. 分析:该题要证

BNACBP

BM,实际就 是要证BN·BM=BP·BK

成立,这时我们发 现这两个等式中,

T 只有一个量不同,即AC与

图BK,其它三个量都是相同的. 于是我们只需证明AC=BK,该题便可迎刃而解了.这其实也就是我们把AC“转移”为BK的一种解题技巧.具体证明如下: 证明:∵AN=AM ∴∠ANM=∠AMN ∵BM平分∠ABC,且 ∠BAM=90°,MT⊥BC. ∴∠ABM=∠TBM,

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