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竞赛中的三角函数例题选讲

[Everything系列-奥数冲刺]奥林匹克数学竞赛权威教程之一

竞赛中的三角函数例题选讲

学科:奥数

教学内容:竞赛中的三角函数例题选讲

【内容综述】 一.三角函数的性质 1.正,余弦函数的有界性 对任意角,

2.奇偶性与图象的对称性

正弦函数,正切函数和余切函数都是奇函数,它们的图象关于原点对称,并且y=sinx的图象还关于直线

轴对称,并且其图象还关于直线

3.单调性 y=sinx在上单调递减:y=cosx在上单调递减;y=tanx在

上都是单调递减的。

4.周期性

y=sinx与y=cosx的最小正周期是2π,y=tanx与y=cosxr 的最小正周期是π。

【例题分析】

例1 已知圆x2 y2 k2至少覆盖函数值点,求实数k的取值范围。 解 因为

是一个奇函数,其图象关于原点对称,而圆x2 y2 k2也关

的一个最值点即可。

,依题意,

的一个最大值点与一个最小

上单调递增,在

上单调递增,在

上都是单调递增的;y=cotx

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对称:余弦函数是偶函数,从而y=cosx的图象关于y

对称 ,

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于原点对称,所以,图x2 y2 k2只需覆盖 令

,可解得

的图象上距原点最近的一个最大值点

此点到原点的距离不超过|k|,即

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的一切实数。

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综上可知,所求的K 为满足

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