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例谈二次函数综合题的解题策略

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例谈二次函数综合题的解题策略

□ 孙朝仁 朱松林

二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题,要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固,而且还要善于将二次函数和其他的有关知识(方程、不等式以及几何等知识)“攀亲”,搞好关系,这样问题的综合层次和要求都比较高 .解决这类问题的关键就是要“沉得住气”,认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理,有条不紊地进行“抽丝剥茧”,最终解决问题 .下面略举几例,谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 .

一、得意知“形”,由“形”想“数”

例1 已知函数y=x2+bx+2的图象经过点(3,2).

(1)求这个函数的关系式;

(2)画出它的图象;

(3)根据图象指出:当x取何值时,y≥2? 分析 首先,利用待定系数法,可以求出b的值,

从而获得函数表达式;其次,根据函数关系式不难知“形”—— 用描特殊点法画出函数图象;第三,借助函数图象,由“形”想 “数”,要“确定y≥2时,x的取值范围”就是要求位于“直线 y=2上方”图象的自变量取值范围.

解 (1)根据题意,得 2=9+3b+2,

解得 b=-3.

∴函数关系式为y=x-3x+2.

(2)易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为(1,0)、(2,0),与y轴的交点坐标

为(0,2),对称轴为x

32

2

图1

.函数y=x2-3x+2的图象如图1所示.

(3)根据图象可得,当y=2时,对应的x的值为0和3 .因此,当x≤0或x≥3时,

y≥2.

评析 充分利用函数图象的直观性,分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面.本题还可以直接指出“当x取何值时,y≤2?”以及根据图象写出“不等式x2-3x+2≤0的解集”,这两个问题,请同学们自行写出.

二、函数与方程“攀亲”,由方程求函数

例2 如图2,一元二次方程x 2x 3 0的两根x1,x2(x1<x2)是抛物线

y ax

2

2

bx c(a 0)与x轴的两个交点B,C的横坐标,且此抛物线过点A(3,6).

(1)求此二次函数的解析式;

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