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2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学

(1-i)1.已知为虚数单位),则复数z=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i z

2.设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A B”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

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63843,则输出的S=( ) A. B. C. D. 7799

图4 图2 图3

5

x+y≥-1,2 4.若变量x,y满足约束条件 2x-y≤1,则z=3x-y的最小值为( ) A.-7 B.-1 C.1 D.2

y≤1,

5.设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是( )

A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数

3a56.已知x)的展开式中含2的项的系数为30,则a=( ) A.3 B.-3 C.6 D.-6 x

7.在如图2所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.

→→→8.已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|PA+PB+PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

ππ9.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图像,若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=23

5ππππ则φ=( ) A. B. D. 12346

10.某工件的三视图如图3所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原

新工件的体积4(2-1)312(2-1)3816工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率 ) A.B.C. 原工件的体积9π9πππ

11. 2(x-1)dx=________. 0

12.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图4所示.若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是________.

x2y2

13.设F是双曲线C:=1的一个焦点,若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为_____. ab

14.设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________.

3 x,x≤a,15.已知函数f(x)= 2若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是________. x,x>a,

16.(1)[选修4-1:几何证明选讲]如图5,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:(i)∠MEN+∠NOM=180°;(ii)FE·FN=FM·FO.

3x=5+,2(2)[选修4-4:坐标系与参数方程]已知直线l:(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,1y3+2

曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(i)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(ii)设点M的直角坐标为(5,3),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.

11(3)[选修4-5:不等式选讲]设a>0,b>0,且a+b=.证明:(i)a+b≥2;(ii)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. ab

π17.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围. 2

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