二次函数 难题

一元二次方的应用及根的判别式、韦达定理

一、根的判别式

1.一元二次方程根的判别式的定义：

b2b2 4ac

运用配方法解一元二次方程过程中得到 (x ) ，显然只有当b2 4ac 0时，才能直接开

2

2a4a

b 平方得：x 2a也就是说，一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)只有当系数a、b、c满足条件 b2 4ac 0时才有实

数根．这里b2 4ac叫做一元二次方程根的判别式．

2.判别式与根的关系：

在实数范围内，一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况(是否有实数根)由 b2 4ac确定．

判别式：设一元二次方程为ax2 bx c 0(a 0)，其根的判别式为： b2 4ac则

① 0 方程ax bx c 0(a

0)有两个不相等的实数根x1,2．

b

② 0 方程ax2 bx c 0(a 0)有两个相等的实数根x1 x2 ．

2a

③ 0 方程ax2 bx c 0(a 0)没有实数根．

若a，b，c为有理数，且 为完全平方式，则方程的解为有理根；

2

若

为完全平方式，同时 b2a的整数倍，则方程的根为整数根．

说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程

有两个不相等的实数根时， 0;有两个相等的实数根时， 0;没有实数根时， 0．

(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式 b2 4ac判定方程的根的情况

(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当 b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根． ① 当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ② 当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点．

3.一元二次方程的根的判别式的应用：

一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： （1）运用判别式，判定方程实数根的个数；

（2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； （3）通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．

二、韦达定理

x2，那么，就有 如果一元二次方程ax2 bx c 0（a 0）的两根为x1，

ax2 bx c a x x1 x x2

比较等式两边对应项的系数，得

b

x x ①，2 1a

c x x ② 12

a

①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．

2

因此，给定一元二次方程ax bx c 0就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数x1，x2满足①与②，x2必是一个一元二次方程ax2 bx c 0的根．利用这一基本知识常可以简捷地处理问那么这两数x1，题．

利用根与系数的关系，我们可以不求方程ax2 bx c 0的根，而知其根的正、负性． 在 b2 4ac≥0的条件下，我们有如下结论：