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学习渐开线与摆线的方程的基本知识

渐开线与摆线

目的要求:了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。有条件可以应用计算机展现心脏线、螺线、摆线、渐开线等,使学生感受这些曲线的数学美。

重点难点:曲线参数方程的推导;

教学过程:

一、探究

把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的

外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切

而逐渐展开,那么铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样?能否求出它的轨迹方程?

动点(笔尖)满足什么几何条件?设开始时绳子外端(笔尖)位于点A,

当外端展开到点M时,因为绳子对圆心角 的一段弧AB,展开后成为切线,所以

切线BM的长就是AB的长,这是动点(笔尖)满足的几何条件。

我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆。

二、渐开线的参数方程

以基圆圆心O为原点,直线OA为x轴,建立平面直角坐标

系。

设基圆的半径为r,绳子外端M的坐标为(x,y)。显然,

点M由角 唯一确定。取 为参数,则点B的坐标为(rcos ,rsin ),从而 BM=(x rcos ,y rsin ),|BM|=r .

由于向量e1=(cos ,sin )是与OB同方向的单位向量,

因而向量e2=(sin , cos )是与向量BM同方向的单位向量。 所以|BM|=(r )e2,即|BM|=(x rcos ,y rsin )=r (sin , cos )

x=r(cos + sin )解得 ( 是参数)。y=r(sin cos )

所以,圆渐开线的参数方程为 x=r(cos + sin )

y=r(sin cos )( 为参数)

在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力。由于渐开线齿行的齿轮磨损少,传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮,需要借助圆的渐开线方程。

三、摆线的参数方程

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学习渐开线与摆线的方程的基本知识

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、摆线的定义

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