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函数的单调性与最值

介绍抽象函数、二次函数性、对勾函数等得的单调性及最值得常见题型与方法。

第二节 函数的单调性与最值

姓名: 日期: 函数的单调性从宏观上讲是反映函数图像变化趋势的,是函数重要性质之一,与函数的另外两个重要性质:奇偶性和周期性,构成了函数的灵魂。与函数概念及其他性质联系紧密,辐射面广,是解决函数最值问题的利器。

★重点难点突破★

1. 对函数单调性的理解 (1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定

义域; (2)函数单调性定义中,有三个特征:一是任意性,任取“x1,x2 D”,任字不可丢;二

是大小性,“x1 x2或x1 x2”直接与函数f(x1) f(x2)的符号相关;三是同属于一个单调区间,x1,x2应属同一区间,三者缺一不可;

(3)关于函数的单调性的证明,如果用定义证明 在某区间上的单调性,那么就要用严格的

四个步骤,即①取值;②作差;③判号;④下结论。但是要注意,不能用区间上的两个特殊值来代替。而要证明在某区间上不是单调递增的,只要举出反例就可以了,即只要

找到区间I上两个特殊的x1,x2,若x1 x2,有f(x1) f(x2)即可 (4)函数的单调性是对某个区间而言的,所以受到区间的限制,如函数y

1

分别在( ,0)x

和(0, )内都是单调递减的,但是不能说它在整个定义域即( ,0) (0, )内是单调递减的,只能说函数y

1

的单调递减区间为( ,0)和(0, )。 x

(5)一些单调性的判断规则:一些单调性的判断规则:①若f(x)与g(x)在定义域内都是

增函数(减函数),那么f(x) g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)。②复合函数的单调性规则是“异减同增”。

2.函数的最值的求法

(1)若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数,常用配方法。

(2)利用函数的单调性求最值:先判断函数在给定区间上的单调性,然后利用函数的单调

性求最值。

(3)基本不等式法:当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法(但有注意等号是否

取得)。

(4)数形结合法:画出函数图象,找出坐标的范围或分析条件的几何意义,在图上找其变

化范围。

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