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三角函数有理式积分

§6–6 三角函数有理式积分

基础知识导学

1.定义

三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数,记作:R (sin x,cos x) 2.

R (sin x,cos x)dx的求法

(1) 利用三角恒等式和变量代换,把

R (sin x,cos x)dx化为熟悉的积分;

(2)利用下面三种函数代换,把三角函数原积分转化为新变量t的有理函数积分,而有理函数的积分已经解决,所以三角有理式的积分也就解决了。

三种变量代换 ① 对

R (sin x,cos x)dx,利用万能公式,

即令t = tg

x2

,则sin x=

2t1 t

2

,cos x=

1 t1 t

22

,dx=

21 t

2

dt

② 对

R (sin x)cos xdx或

R (cos x) sin xdx

令t = sin x或t = cos x

③ 对令t = tg x

R (sin x, cos x) dx或

2

2

R (tg x) dx

重点难点突破

1.在计算三角函数有理式的积分时,要注意分析被积函数的特点,充分利用三角函数恒等式,达到简化计算的目的。

2.下面的变量代换是根据上述三种变量代换和三角有理式的具体形式得到的一些代换,在计算中常常用到。

① 形如

sin mx cos nx dx的积分

如果m,n中至少有一个为奇数时,若m为奇数,则令cos x = t ;若n为奇数,则令sin x = t 如果m,n皆为偶数,则作变换sin x=

2

1 cos2x

2

,cos x=

2

1 cos2x

2

② 形如

2

tg mx dx,和

2

ctg mx dx的积分,其中m为正整数

2

2

利用tgx= secx-1, ctgx= cscx-1降低正切或余切函数的幂指数。 ③ 形如

tgxsecx dx,和

m

n

ctgx cscx dx,其中n为正偶数

mn

利用sec2x=1+tg 2x,csc2x =1 +ctg 2x降低正切或余切函数的幂指数。 ④ 形如

sin mx cos nx dx,

cos mx cos nx dx,

sin mx sin nxdx的积分

利用积化和差公式

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