用图与转化——两招搞定正态分布问题

河北省秦皇岛开发区燕大附中０６６００４

吉众

正态分布是自然界最常见的一种连续型概率分布，又称为常态分布，许多分布都可以用正态分布来近似描述．虽然是新加盟高中数学的“新成员”，但与此相关的试题背景新颖、生活气息浓，倍受命题者重视．高考常以选择题、填空题的形式出现，难度虽然不大，但也不可忽视．解答正态分布问题只需具有用图形和转化意识，就可以轻松求解．

１

认识正态密度函数

总体概率密度函数是以戈）＝士ｅ一拶，这√２１Ｔ盯

样的总体称为正态总体，或说总体服从正态分布，记

为Ｊ７、ｒ（肛，矿２）以茗）中有两个参数肛（总体平均数）、

盯（总体标准差），其图象称为正态（密度）曲线，又称为钟型曲线，顾名思义其图象如古代大钟的轴截面，中间高两边低，其对称轴为Ｘ＝肛，最高点的坐标

１

（肛，—圭－），正态曲线与菇轴围成区域的面积为１．

Ｊ、／２，ｒｒｏ＂

若随机变量亭一Ⅳ（肛，矿），则Ｐ（孝＜菇。）＝Ｆ（石。）等于直线石＝名。的左侧、正态曲线下方、戈轴上方围成区域的面积．当肛＝０，ｏｒ＝ｌ时，ｍ（ｏ，１）称为标准正态分布，此时Ｐ（ｆ＜Ｘｏ）记为毋（菇。），当髫。≥０时，中（石。）可通过查“标准正态分布表”获得，当石。＜０时，通过转化亦可求咖（‰）的值，咖（ｚ。）＝１一垂（一髫。）；非标准正态分布Ⅳ（肛，盯）可转化为标准正态分布，公式为Ｐ（ｘ＜手）＝Ｆ（手）＝

痧（＆坐）．

矿

２

识图与用图

我们知道：性质决定图象，图象反映性质．给出

正态曲线，我们应该能迅速从中看出相关性质．已知满足正态分布的随机变量在给定区间内取值的概率，求在另一区间内取值的概率，只需用好图形的对称性，进行简单的转化，便可求解．

例１（２００８安徽）

设两个正态分布Ⅳ（肛。，

矿：）（盯。＞０）和Ⅳ（砌，Ｚ）（矿２＞０）的密度函数图

万方数据

象如图１所示．则有

Ａ．ｐＩ＜心，盯ｌ＜０＂２Ｂ．ｐｌ＜№，仃Ｉ＞矿２Ｃ．肛ｔ＞№，盯ｌ＜矿２Ｄ．ｐｌ＞№，矿ｌ＞ｏｒ２

解析

由正态曲线

‘Ｙ

的对称轴为髫＝弘，最高点

批’妒的坐标（肛，了嘉’，观察Ｖ－¨Ｕ

图象可知：肛ｌ

沙八烨．面

＜／－ｈ，

。

＼＜一

工一

面１＞瓦１，所以万盂＞面：’所以

图１

盯ｌ＜矿２，故选Ａ．

点评

正态分布的总体平均数决定对称轴的

位置，总体标准差（方差的平方根）决定正态曲线的

１

高、矮（盯越小，—圭＝－越大），“体积”相等“身材高”

，／２＇ｆｒｏ＂

的必然“瘦”、矮的自然就“胖”．

例２

设随机变量亭～Ｎ（２，盯２），若ｅ（ｆ＜１）

＝０．４，秀瞄么Ｐ（ｆ＜３），Ｐ（ｆ＜２），Ｐ（ｆ＜０），Ｐ（亭＜一３）中一定可求出具体值的是

．

解析

由孝～Ｎ（２，ｏｒ２）及Ｐ（ｆ＜１）＝０．４，

知：正态曲线的对称轴为算＝２，且直线算＝ｌ左侧区域的面积为０．４，所以直线龙＝３右侧区域的面积也为０．４，且对称轴ｘ＝２左侧区域的面积为０．５，所以Ｐ（孝＜３），Ｐ（孝＜２）可求．

点评

若孝～Ｊ７、ｒ（肛，盯２）（矿＞０），则Ｐ（ｆ＜ｐ）

＝ｅ（ｆ＞肛）＝０．５，给出Ｐ（手＜￡）的值，根据对称

性还可求出ｅ（ｆ＜躯一￡）的值，用图也不是说每个

图形都要画出来，心中有图才是最高境界．

例３

已知随机变量ｆ～Ｎ（１，ｏｒ２），且Ｐ（ｆ＜一

２）＋ｅ（ｆ＞６）＝０．２０１，则Ｐ（一４＜亭＜４）＝

多孓

解析

如图２，依题

乡’Ｉ‘心

意ｅ（ｆ＜一２）＋ｅ（ｆ＞６）＝Ｓｌ＋Ｓ２＋Ｓ＝０．２０１，因

图２