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用图与转化——两招搞定正态分布问题

用图与转化——两招搞定正态分布问题

河北省秦皇岛开发区燕大附中066004

吉众

正态分布是自然界最常见的一种连续型概率分布,又称为常态分布,许多分布都可以用正态分布来近似描述.虽然是新加盟高中数学的“新成员”,但与此相关的试题背景新颖、生活气息浓,倍受命题者重视.高考常以选择题、填空题的形式出现,难度虽然不大,但也不可忽视.解答正态分布问题只需具有用图形和转化意识,就可以轻松求解.

认识正态密度函数

总体概率密度函数是以戈)=士e一拶,这√21T盯

样的总体称为正态总体,或说总体服从正态分布,记

为J7、r(肛,矿2)以茗)中有两个参数肛(总体平均数)、

盯(总体标准差),其图象称为正态(密度)曲线,又称为钟型曲线,顾名思义其图象如古代大钟的轴截面,中间高两边低,其对称轴为X=肛,最高点的坐标

(肛,—圭-),正态曲线与菇轴围成区域的面积为1.

J、/2,rro"

若随机变量亭一Ⅳ(肛,矿),则P(孝<菇。)=F(石。)等于直线石=名。的左侧、正态曲线下方、戈轴上方围成区域的面积.当肛=0,or=l时,m(o,1)称为标准正态分布,此时P(f<Xo)记为毋(菇。),当髫。≥0时,中(石。)可通过查“标准正态分布表”获得,当石。<0时,通过转化亦可求咖(‰)的值,咖(z。)=1一垂(一髫。);非标准正态分布Ⅳ(肛,盯)可转化为标准正态分布,公式为P(x<手)=F(手)=

痧(&坐).

识图与用图

我们知道:性质决定图象,图象反映性质.给出

正态曲线,我们应该能迅速从中看出相关性质.已知满足正态分布的随机变量在给定区间内取值的概率,求在另一区间内取值的概率,只需用好图形的对称性,进行简单的转化,便可求解.

例1(2008安徽)

设两个正态分布Ⅳ(肛。,

矿:)(盯。>0)和Ⅳ(砌,Z)(矿2>0)的密度函数图

万方数据

象如图1所示.则有

A.pI<心,盯l<0"2B.pl<№,仃I>矿2C.肛t>№,盯l<矿2D.pl>№,矿l>or2

解析

由正态曲线

‘Y

的对称轴为髫=弘,最高点

批’妒的坐标(肛,了嘉’,观察V-¨U

图象可知:肛l

沙八烨.面

</-h,

\<一

工一

面1>瓦1,所以万盂>面:’所以

图1

盯l<矿2,故选A.

点评

正态分布的总体平均数决定对称轴的

位置,总体标准差(方差的平方根)决定正态曲线的

高、矮(盯越小,—圭=-越大),“体积”相等“身材高”

,/2'fro"

的必然“瘦”、矮的自然就“胖”.

例2

设随机变量亭~N(2,盯2),若e(f<1)

=0.4,秀瞄么P(f<3),P(f<2),P(f<0),P(亭<一3)中一定可求出具体值的是

解析

由孝~N(2,or2)及P(f<1)=0.4,

知:正态曲线的对称轴为算=2,且直线算=l左侧区域的面积为0.4,所以直线龙=3右侧区域的面积也为0.4,且对称轴x=2左侧区域的面积为0.5,所以P(孝<3),P(孝<2)可求.

点评

若孝~J7、r(肛,盯2)(矿>0),则P(f<p)

=e(f>肛)=0.5,给出P(手<£)的值,根据对称

性还可求出e(f<躯一£)的值,用图也不是说每个

图形都要画出来,心中有图才是最高境界.

例3

已知随机变量f~N(1,or2),且P(f<一

2)+e(f>6)=0.201,则P(一4<亭<4)=

多孓

解析

如图2,依题

乡’I‘心

意e(f<一2)+e(f>6)=Sl+S2+S=0.201,因

图2

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