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数学解题真经(一)问题与信息

数学解题真经(一)问题与信息

问题解决与问题信息

我们通常把数学问题(常见的习题)的结构分为两部分。题设条件(已知部分)和结论(未知部分)。这种认识是针对问题的组成结构而言的,远离了问题解决的过程。其实,问题解决是问题与人的思维活动相互作用的结果,人在认识和解决一个问题时,并不十分关注问题的结构,而是重视问题呈现的有意义的材料,特别是主观认为与问题解决有关的问题信息。

信息加工理论认为:“人的大脑是一台类似计算机的信息处理装置,我们在解题时,就如一台计算机那样,接受信息,加工信息,作出反应。”当然,人脑远非计算机可比,除了能进行思维活动外,还有精神、情感和意志。这一观点虽然抛弃了人的情感、动机、社会交流等外在和内部因素,但它把问题作为一组信息看待,用计算机的操作规程来模拟人的思维活动,也近似地描述了问题解决的过程。所以,在解题过程中我们不能把问题的条件和结论孤立地看待,它们都是问题信息的组成部分,应当联系地整体地思考和研究。

(一)问题结论所蕴藏的信息对问题解决有着不可忽视的作用

我们在解题过程中,通常重视问题的条件信息,轻视问题的结论信息,认为条件才是问题解决的基础材料,结论是问题解决所追求的终极目标。其实,这是一种片面的认识,问题结论所隐藏的信息又何尝不是问题解决的基础,同样也存在着不可忽视的作用。

例1 已知A 、B 、C 为锐角,且2π

=++C B A .

求证 5tan tan +B A +5tan tan +C B +5tan tan +A C 34≤.

这个问题呈现的信息有3项:①A 、B 、C ∈(0、

2π);②A 、B 、C 的关系式2π=++C B A ;

③A 、B 、C 的正切函数关系式. 5tan tan +B A +5tan tan +C B +5tan tan +A C 34≤(1)

可以看出:条件信息①②只是角的关系式,丝毫没有体现与结论“正切函数关系式”的联系,对解题思路既不能明导也不能暗示。相反,结论信息(1)式“左边为3个根式的和,右边为常数”,这为我们寻找解题方案作出了暗示,我们只要回想自己的认知经验,立即可以想到“去掉根号化为整式,有利于进一步化简和推理”。(这就是问题解决的假设方案)

如何才能去掉根号呢?只需利用 “均值不等式”或“柯西不等式”就可实现这一条解题方案。 631tan tan 3 )5tan (tan 316+≤+B A B A (为什么要添系数3

16?) 24

)31tan tan 3(3 )5tan (tan +≤+?B A B A , 从而,左边8

331)tan tan tan tan tan (tan 3+++≤A C C B B A (2) 可见,要解答此题,只需证明1tan tan tan tan tan tan ≤++A C C B B A 即可。(这是中学熟知的结论)

从此题的解答来看。条件信息只是保证根式有意义和式子+B A tan tan +C B tan tan 1tan tan ≤A C 成立而已,对探求解题思路的作用不大;而结论信息反而为解题提供明确的思路──去根号。就提供解题策略而言,条件作用弱,结论作用大。于是我们可以得到一点解题经验:对于题设简单,结论复杂的数学综合题,挖掘问题结论所隐藏的信息,是寻找解题思路的一条途径。

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